正弦或余弦的正整數(shù)冪的不定積分，并不存在統(tǒng)一的公式。但是分情況討論后，還是可以歸納出公式來的。其中當指數(shù)是奇數(shù)時，公式相對簡單，老黃上一篇文章中已經(jīng)給大家分享了。這里要繼續(xù)分享超麻煩的偶指數(shù)公式。先探究余弦的情況：
探究1：求I_(2m)=∫(cosx)^2mdx，m∈N*.
【奇指數(shù)可不需要記這個I，可見偶指數(shù)難度提升了不少。當然，不需要你自己去探究公式，只需要記下老黃推導的公式的話，就不會發(fā)現(xiàn)它的難點的，過程如果出錯，以圖為準】
解：I_(2m)=∫(cosx)^(2m)cscxsinxdx
【余割和正弦是互為倒數(shù)，相乘等于1】
=-∫(cosx)^(2m)cscxdcosx
【利用了dcosx=-sinxdx】
=-(cosx)^(2m+1)cscx+∫cosxd((cosx)^(2m)cscx)
【分部積分公式的運用，注意符號的變化】
=-(cosx)^(2m+1)cscx-∫(2m*(cosx)^2+(cosx)^(2m+1)cscxcotx)dx
【把上一步的微分部分求出來的結(jié)果】
=-(cosx)^(2m+1)cscx-2m*I_(2m)-∫(cosx)^(2m+2)(cscx)^2dx
【把上面的cotx化成了cosxcscx，就能湊成這個樣子】
=-(cosx)^(2m+1)cscx-2m*I_(2m)+∫(cosx)^(2m+2)dcotx.
華佗鎖精丸使用方法 【利用了(cscx)^2dx=-dcotx】
(2m+1)*I_(2m)=-(cosx)^(2m+1)cscx+∫(cosx)^(2m+2)dcotx
【對上面的結(jié)果進行了移項合并同類項I_(2m)】
=-(cos)^(2m+1)(cscx-cosxcotx)-∫cotxd(cosx)^(2m+2)
【又應用了一次分部積分法，還合并了前面兩項，進行因式分解】
=-sinx(cosx)^(2m+1)+(2m+2)I_(2m+2).
【其中sinx=cscx-cosxcotx，并將上面的湊分部分解出來，就可得了這樣一個遞增的公式，沒有關(guān)系，移項化一化，就可以反過來變成遞減的了】
所以(2m-1)*I_(2m-2)=-sinx(cosx)^(2m-1)+2m*I_(2m)
【這是用m-1代替上面的m】
∴I_(2m)=((2m-1)I_(2m-2)+sinx(cox)^(2m-1))/2m
【遞減公式就出來了】
=((2m-1)(2m-3))/(2m(2m-2))I_(2m-4)+sinx(((2m-1)*(cosx)^(2m-3))/(2m(2m-2))+(cosx)^(2m-1))/2m)
【繼續(xù)嵌套I_(2m-4)的結(jié)果，式子已經(jīng)很復雜了，但我們還要這樣不斷地嵌套下去，一直到m等于1為止，就可以解出這個不定積分了】
=…=(2m-1)x/((2m))+sinx*∑(i=1->m)((2m-2i)(2m-1)(cosx)^(2m-2i+1))/((2m)(2m-2i+1))+C.
【這就是最后的公式，你瞧嚇人不嚇人！下面用圖片展示，會省略掉部分步驟】
由于內(nèi)容已經(jīng)很長很華佗鎖精丸能經(jīng)常吃嗎復雜，下面例題和練習部分，全部只用圖片的形式展示。但是老黃仍有部分講解，特別是包含最關(guān)鍵求正弦偶數(shù)次冪不定積分公式的部分。
例1：求∫(cosx)^4dx.
例1運用了兩種方法，方法一是一般的解法，并不難，關(guān)鍵是公式中的m=2，很小，大了用一般解法就解不了。解法二運用了公式，得到的結(jié)果可以轉(zhuǎn)化成展開式的形式。
例2：求∫(cosx)^100dx.
例2的m=50，如果不用老黃的公式，不信你能解出來！呵！當然如果你喜歡的話，盡可以挑戰(zhàn)一下。接下來探究正弦的偶指數(shù)冪的不定積分。并不需要再進行一篇探究1那樣的復雜過程，只需運用sin(x+π/2)=cosx，以及cos(x+π/2)=-sinx，就可以利用上面的公式巧妙地推出來了。
探究2：求∫(sinx)^2mdx，m∈N*.
解：原積分=∫(cos(x+π/2))^(2m)d(x+π/2)=∫(cost)^2mdt
【這里有一個換元t=x+π/2】
=(2m-1)t/((2m))+sint*∑(i=1->m)((2m-2i)(2m-1)(cost)^(2m-2i+1))/((2m)(2m-2i+1))+C1
【還要換元換回來，由于最后還有出現(xiàn)一個常數(shù)項，所以這里用C1，而不用C】
=(2m-1)x/((2m))-cosx*∑(i=1->m)((2m-2i)(2m-1)(sinx)^(2m-2i+1))/((2m)(2m-2i+1))+C.
【這才是最后的公式，除了正弦和余弦與前面的公式互調(diào)之外，中間還有一個符號的變化】
下面是例3.你可以對結(jié)果求導，雖然很麻煩，但求得出來結(jié)果很解壓，有太多巧合，像上帝設計好的一樣。
再來一道練習，和上一篇文章最后的練習很相似。它其實華佗鎖精丸功效與作用涉及偶數(shù)冪函數(shù)與反正弦函數(shù)積的不定積分公式。
練習：求∫x^7arcsinxdx.
老黃這樣的文章，能看得下去的人很少，能看得下去的人都很厲害，老黃就是為能看得下去的人服務的。
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